数量-03-工程与经济利润问题

一、工程问题

三量关系：总量=效率×时间（W=P×T），转化为 P=W/T、T=W/P。

（一）给完工时间型

识别：完工时间指完成同一项工程的多个时间（2 个及以上）。

解题步骤：

1. 赋总量（完工时间的公倍数，绝大多数用最小公倍数）；
2. 算效率：效率=总量/时间；
3. 根据工作过程列式求解（最难，严格按照题目表述列式计算）。

（二）给效率比例型

识别：题干可能有完工时间，但没有 2 个（只有 1 个）。

解题步骤：

1. 赋效率（满足比例即可）；
2. 算总量：总量=效率×时间；
3. 根据工作过程列方程或式子。

给效率比例的常见形式：

1. 直接型：甲:乙=2:3（直接给比例）；甲的效率是乙的 1.5 倍（→3:2）；甲的效率是乙的 3/4（→3:4）；甲的效率比乙高 25%（→5:4）；
2. 间接型（较难）：利用等式求出效率比例，如甲 7 天的工作量=乙 5 天的工作量 → 7甲=5乙 → 甲/乙=5/7；W 相同，P 与 t 成反比；
3. 给具体人数或机器数：50 个工人修路、36 台收割机 → 赋值每个人/每台机器效率为 1。

（三）给具体单位型

识别：工作总量或工作效率出现具体单位（如"1 小时搬 200 块砖"、"30000 块砖"）。

解题方法：方程法——设未知数，找等量关系列方程（一般根据工作总量相同建立方程）。

（四）拓展补充：牛吃草问题（小众但套路性强）

• 特征：有增长（草）、有消耗（牛），存在两个变量，有排比句；
• 公式：y=(n-x)×t（y=原有草量，n=牛数/每天吃的量，x=每天长草量，t=消耗完时间）；
• 注意：草不生长的"死草"（只有一个变量）不是牛吃草问题；
• 联立两组条件（y 相同）解出 x，再代入第三组求 t；
• 变形应用：售票窗口排队（每分钟新增人数=长草）、接种台排队等。

二、经济利润问题

（一）基础经济（考查最多）

基础公式：

1. 利润=售价-进价；
2. 利润率=利润/进价（数量中利润率分母是进价；资料中利润率=利润/收入）；
3. 售价=进价×(1+利润率)；
4. 折扣=折后价/折前价（折扣只与售价有关）；
5. 总价=单价×数量；总利润=单个利润×数量=总售价-总进价。

进价、定价、售价概念区分：进价（成本）20 元、定价 30 元、打 9 折 → 售价 30×0.9=27 元。数量关系中，除非明确有其他成本，否则默认进价就是成本。

解题思路：

1. 方程法：给具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）；
2. 赋值法：给比例，求比例（利润率、折扣）；
3. 列表分析法：当主体多、关系乱时便于理清关系（两个时间/两家店）。

（二）分段计费（简单计算）

题型：水电费、出租车计费等每段计费标准不等。
解题方法：①分段计算；②汇总求和。
注意：算完超过部分别忘记再加回前面的基础段（但不要重复加起步段）。

（三）函数最值（套路题）

题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高。

计算（两点式）：设提/降价 x 次：

1. 令总利润/总收入为 0，解得 x1、x2（总利润=单利×销量，令两个括号分别为 0）；
2. 当 x=(x1+x2)/2 时取得最值（x 不是整数找最接近的整数；如 x=4.5，4 和 5 结果相同，x=4.7 取 5）。