数量-04-行程与几何问题

一、行程问题

（一）普通行程

基本公式：路程=速度×时间（S=v×t）

匀变速（匀加速/匀减速）运动：
匀变速运动的平均速度=(初速度+末速度)/2（与等差数列"首末项平均"相似；可用 v-t 图：S△=1/2×底×高=位移）。

（二）相对行程

直线相遇（两人同时相向而行）：S和=(V1+V2)×t=V和×t

• 小狗系列（狗在两物之间往返）：狗跑的时间 = 两人从出发到相遇/相距某距离所用时间，S狗=V狗×t。

直线追及（两人同时同向而行）：S差=(V1-V2)×t=V差×t（S差 为追及刚开始时两人相差的距离；一定是 V大 追 V小）。

环形相遇（同点相向出发）：S和=(V1+V2)×t；相遇 N 次，S和=N 圈（本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈）。

环形追及（同点同向出发）：S差=(V1-V2)×t；追上 N 次，S差=N 圈（本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈——速度快的人多走了 1 圈，即"套圈"）。

二、几何问题

（一）几何公式类

1. 规则图形：套公式；
2. 不规则图形：割补平移等（做辅助线）→ 变成规则图形 → 套公式。

长度：正方形 4a；长方形 2(a+b)；圆 2πr=πd；扇形弧长 2πr×(n°/360°)。
面积：正方形 a²；菱形=对角线乘积/2；长方形 ab；平行四边形 ah；三角形 1/2×ah（1/2 不能丢）；梯形 1/2(a+b)h；圆 πr²；扇形 (n°/360°)πr²。
表面积：正方体 6a²；长方体 2ab+2bc+2ac；球 4πr²；圆柱 2πr²+2πrh。
体积：正方体 a³；长方体 abc；柱形 S×h；锥形 1/3×S×h（不要忘记 1/3）；球 4/3πr³。

（二）几何结论类（三角形相关）

勾股定理：a²+b²=c²（斜边一定最长）。

• 常考勾股数：(3、4、5)、(6、8、10)、(5、12、13)、（8、15、17）、（7、24、25）；出现三边比例 3:4:5 可反推直角三角形；
• 特殊三角形三边关系（题目出现角度往往很好做）：
  • 30°、60°、90° 直角三角形：三边关系 1:√3:2（30° 角所对的直角边为斜边的一半）；
  • 45°、45°、90° 直角三角形：三边关系 1:1:√2。

几何方位题：

• 题型特征：题干出现方位（东南西北，偏向+度数）；
• 画图方法：第一步画出坐标轴（上北下南左西右东）；第二步根据题意确认位置；
• 偏向：A 偏 B 30 度 = 与 A 的夹角是 30 度（正方向往往出现 90°）；
• 例：巡逻艇在正南方 30 千米发现可疑船正西行，速度比快 1/3 → 直角三角形 + 速度比 4:3 → 路程比 4:3，勾股定理解 BC=3x>30 选 D。

平面最短路径（将军饮马模型）：

• 考查方式：求 AB 两点到直线距离之和最短；
• 解题原理：两点之间，直线最短；
• 解题技巧：镜面对称后连线（做对称点，连接另一端点，构造直角三角形用勾股数）。

三角形基础性质：

1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
2. 面积：两三角形底相同，面积之比等于高之比；高相同，面积之比等于底之比（可用于赋底边比例求面积比）。

相似三角形：

• 判定：两个三角形三个角分别对应相等（或三边对应成比例）；
• 结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方（体积比=相似比的立方）。