数量-02-三大方法（代入排除倍数特性方程）
知识框架
数学运算三大基础方法（数量2）：
- 代入排除法：看题型（多位数/年龄/不定方程/余数）+ 看选项（信息充分）+ 剩二代一
- 倍数特性法：整除型（口诀/因式分解/拆分）+ 余数型（多退少补）+ 比例型（A/B=m/n 四组倍数）
- 方程法：普通方程（设未知数技巧）+ 不定方程（奇偶/倍数/尾数排除再代入）
关联笔记：1-公考/江苏省考/05-数量关系/00-课程总览 | 01-数字推理
一、代入排除法
什么时候用？
- 看题型（特定题型）：多位数（涉及位数变化，"个位""百位"）、年龄（年龄差不变、每过 n 年每人增长 n 岁）、不定方程、余数（出现"剩""余""缺"等关键字）；
- 看选项：选项信息充分——选项为一组数（出现"分别为""各多少"）；
- 剩二代一：排除两个选项后，代入剩下两个中的一个即可（对则选，不对则选另一个）。
怎么用？
第一步，先排除：通过奇偶、倍数、尾数等排除（如 36 是偶数+2 乙是偶数 → 甲为偶数；甲=3 乙 → 甲是 3 的倍数；61-10 乙 → 甲的尾数为 1）。
第二步，再代入：
- 最值原则——问最大从最大项开始代，问最小从最小项开始代；
- 好算原则——无特殊提示时，优先代入好算的选项。
高频考点（江苏） #高频考点
- 多位数问题江苏出题人比较喜欢考（如个位十位颠倒：1742 与 1796 相差 54，颠倒后 b-a 尾数为 4，验证选项即可）；
- 代入排除在江苏大概有 1~2 道题一定能用上；
- 质数/合数知识点链接：质数（素数）只有 1 和本身两个约数；合数除了 1 和本身还有其它约数；0、1 既不是质数也不是合数；2 是唯一偶质数。
易错点 #易错点
- 问"至少/最多"时，代入结果即使满足也要考虑最值约束（如"至少租赁"不能选满足但更多的组合）；
- 正方体切长方体问题：出现高次幂不要直接求 x，考虑代入（x²×(x-2)=144，代入 6：36×4=144）。
二、倍数特性法
（一）基础知识：整除型
当 A=B×C（B、C 均为整数），则 A 能被 B 整除、也能被 C 整除。
常见形式：①平均分配、②存在三量关系（A=B×C）。
整除判定法则：
- 口诀法：3/9 看各位数字之和（可用"弃 3 法"划掉 3 的倍数）；2/5 看末 1 位；4/25 看末 2 位（100=4×25）；8/125 看末 3 位（1000=8×125）；
- 复杂倍数用因式分解：判断 X 能否被 12 整除，只需判断 X 是 3 和 4 的倍数（分解后的 2 个数必须互质——2 和 6 不互质不行，12=3×4、24=3×8、15=3×5）；
- 没有口诀的用拆分（万能法，多用于 7、11、13 等）：判断 X 能否被 7 整除，把 X 拆成 7 的倍数±零头，只看零头能否被 7 整除（386=350+36，36 不是 7 的倍数 → 不能被 7 整除）。
（二）余数型
- 判定：出现"剩""余""缺"等关键字，或者答案=ax±b（a、x 均为整数）；
- 方法：答案∓b 能被 a 整除（多退少补）——剩 3 个则答案-3 是 10 的倍数；缺 3 个则答案+3 是 10 的倍数。
技巧
两个条件同时满足时，可先求公倍数（总数-2 是 3 的倍数也是 4 的倍数 → 是 12 的倍数）；第一个条件能解出唯一答案就不看第二个。
（三）比例型
如果 A/B=m/n（m 与 n 互质），那么：
- A 是 m 的倍数
- B 是 n 的倍数
- A+B 是 m+n 的倍数
- A-B 是 m-n 的倍数
简而言之：一个比例，产生四组倍数关系，求谁找谁。
高频考点（江苏） #高频考点
- 什么时候用：题目出现比例（5:3）、分数（4/7）、百分数（25%=1/4）、倍数（1.2 倍 → A/B=6/5）时，所求量为具体量，可先考虑比例型倍数特性；
- 怎么用：先找与问题有直接关系的比例，转化为 A/B=m/n（最简整数比）的形式，求谁找谁；不行时再找间接关系的比例；
- 比例转化：先化成最简分数，再把"比"后主体当分母（A 比 B 多 40% → A/B=7/5；A 比 B 少 25% → A/B=3/4）；
- 前提：A、B 是正数，m/n 是最简整数比（互质）——不互质会遗漏解。
易错点 #易错点
- 求谁看谁，注意主体：问"数学教材"要转化"数学/其余=3/7"（不是"数学/全部=3/10"）；
- "其中"之后的主体是部分集合（如 96% 去西部 → 西部=75×24/25=72 人，之后的分支都在这 72 人里算）；
- 选项差距很大（2 倍以上）可能有陷阱，常规选项一般是等差数列；
- 多个未知数时可用"间接比例"：今推/上推=5/6，今考/上考=181/150（今考是 181 的倍数，总数 231 → 今考=181）。
三、方程法
（一）普通方程
什么时候用：题目没有明显特征或其它技巧没法用时。
怎么用：找等量关系、设未知数（技巧）、列方程、解方程。
设未知数的技巧：
- 设小不设大（避免分数）："甲是乙的 2 倍"设乙为 x，甲为 2x；
- 设比例份数（出现比例）：甲/乙=3/5，设甲为 3x、乙为 5x；
- 设中间量（方便列式）：A 同时与 B、C 有关系，设 A 相关量；
- 同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）：选项 B+C=100 时直接设甲为 x。
（二）不定方程（未知数个数多于方程数）
形式：ax+by=M（x、y 为未知数，a、b 为系数，M 为常数）。
方法：先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，排除再代入。
- 奇偶：当 a、b 恰好一奇一偶时考虑。
- 加减法：同性为偶，异性为奇，和差同性；乘法：一偶则偶（偶×奇=偶、奇×奇=奇）；
- 例 3x+4y=25：4y 偶、25 奇 → 3x 奇 → x 为奇数。
- 倍数：当 a 或 b 与 M 有公因子时考虑。
- 例 7x+3y=60：3y、60 都是 3 的倍数 → 7x 是 3 的倍数 → x 是 3 的倍数。
- 尾数：当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时考虑。
- 例 7x+20y=61：20y 尾数 0、61 尾数 1 → 7x 尾数 1。
不定方程组：先消元（求谁不消谁，一般消系数小的未知数），转化为不定方程后再代入排除。
易错点 #易错点
- 排除顺序建议：优先倍数，再尾数，最后奇偶（奇偶和倍数同时出现时优先考虑倍数）；以上方法都用不上就直接代入；
- 不定方程无法直接计算，必须结合选项（如 4 甲+7 乙=143，问至多：4 甲偶、143 奇 → 7 乙奇 → 乙奇数，问至多从大项代入验证整数）；
- 多个条件的题：三未知数两方程 → 消元（求 z 消 y：①×5-② 得 4z-5x=61，尾数法）；
- 出门测技巧：连续正整数乘积的尾数——含偶数 5 的乘积尾 0，直接排除。