数量-05-排列组合概率与容斥

一、排列组合问题

（一）基础概念

基础概念 1：加法原理与乘法原理

• 分类用加法：解决问题有几种方式，每种方式都可独立完成事件。翻译：要么……要么……；或。
• 分步用乘法：解决问题需分几个步骤，每个单独的步骤不能独立完成事件。翻译：先……再……；既……又……。

基础概念 2：排列与组合

• 排列（A）：与顺序有关，交换顺序影响结果。A(n,m)=从 n 开始往下递减乘 m 个数（A(8,3)=8×7×6）；
• 组合（C）：与顺序无关，交换顺序不影响结果。C(n,m)=从 n 开始往下递减乘 m 个数/从 m 开始往下递减乘到 1（C(8,3)=8×7×6/(3×2×1)=56）。

常用计算：A(2,2)=2、A(3,3)=6、A(4,4)=24、A(5,5)=120、A(6,6)=720；C(5,2)=C(5,3)=10、C(6,2)=15、C(6,3)=20、C(7,3)=35。

（二）经典题型（4 个方法）

1. 枚举法

• 适用范围：①凑数字（钱数）；②情况少（选项一般在 10 以内）；
• 注意：按一定顺序枚举（建议从大到小），不重复、不遗漏。

2. 捆绑法——元素要求相邻

• 先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序（A(2,2)）；
• 再排：将捆绑后的看成一个元素（"大胖子"），再进行后续排列。

3. 插空法——元素要求不相邻

• 先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；
• 再插：将不相邻的元素插入空位中（5 个人产生 6 个空位，选 2 个插入，有顺序 A(6,2)）。
• 不推荐"总数-相邻"的反面做法（计算量大）。

4. 插（隔）板法——同素分堆

• 题型识别：将 n 个相同元素分给 m 个人，每人至少一个；
• 应用环境：①相同元素；②每人至少一个；
• 解题：n 个相同物品形成 n-1 个空，分给 m 个人每人至少一个，需要插 m-1 个板子 → 共有 C(n-1, m-1) 种分法；
• 拓展变形：每人至少分 X 个 → 每人先分 (X-1) 个，余下元素再用隔板法。

二、概率问题

1. 给情况求概率（考查多）：概率(P)=满足要求的情况数/所有的情况数；
2. 给概率求概率（少）：
   • 分类用加法：P=P1+P2+……+Pn（要么……要么……）；
   • 分步用乘法：P=P1×P2×……×Pn（既要……又要……）；
3. 逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率（"至少一个"反面是"一个都没有"）。

三、容斥原理（本质为去重补漏的计数问题）

考查类型：两集合容斥、三集合容斥。
解题方法：公式法（所给所求都是公式中的一部分）+ 画图法（公式不好用，往往出现"只满足一个条件"）。

（一）两集合公式

A+B-A∩B=总数-都不

（二）三集合标准型公式

判定：分别给出或求 A∩B、A∩C、B∩C（有"既 A 又 B、既 B 又 C、既 A 又 C"）。

A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不

（注：A∩B、A∩C、B∩C 都包含 A∩B∩C）

（三）三集合非标准型公式

判定：统一给出或求解"只满足两种"（没有既 A 又 B 等分别给出的表述）。

A+B+C-满足两项-2×满足三项=总数-都不

（注：数量中"满足两项"=只满足两项，不包含三项都满足的）